IV E G. Galilei Manfredonia
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| + | Il problema di Pappo si enuncia così: date tre rette complanari e un punto P appartenente al piano, si considerino le distanze di P dalle tre rette; trovare il luogo dei punti tali che il prodotto di due delle distanze sia uguale (o proporzionale alla terza distanza).Il problema, classico della geometria alessandrina, era già stato trattato, ma risolto in modo incompleto: Cartesio lo risolve per la prima volta nella sua generalità. | ||
| + | La risposta è: nel caso delle tre rette il punto P descrive una conica, può essere esteso a quattro rette e il luogo è ancora una conica, mentre per 5 o 6 rette è una curva di terzo grado. Il grado della curva sale all’aumentare del numero delle rette. Cartesio non conosce e nemmeno ricava la formula nota oggi nelle scuole d = abs(ax+by+c)/radq(a2+b2), comunque dai suoi calcoli emerge che ogni coppia di distanze punto-retta aggiunte comporta l'aumento di uno dell'esponente massimo dell'espressione che fornisce dell'equazione della curva. | ||
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| + | Il problema delle quattro rette | ||
| + | • Il luogo geometrico dei punti P che verificano la condizione CD • CF = CH • CB è una conica | ||
| + | Il problema è generalizzato aumentando il numero delle rette e considerando, anziché la distanza, un segmento di retta con inclinazione qualsiasi. Qui le rette sono quattro ma nel su lavoro Cartesio indica la soluzione anche per altri valori, cinque, sei … | ||
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| + | •Introduce cambiamenti significativi nella notazione: Cartesio scrive formule matematiche leggibili senza sforzo alcuno anche oggi. Usa un simbolo per l’uguaglianza, diverso dall’ =, ma non più la scritta latina aequalis; con le prime lettere dell’alfabeto indica costanti, con le ultime incognite come è anche oggi. Usa il simbolo di potenza e di radice quadrata. Per lui, come per noi a2 è un numero e non un’area. | ||
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| + | •Usa un sistema di coordinate che noi chiameremo obblique, quindi non sempre ortogonali, e solo con ascisse e ordinate positive, per cui traccia solo le porzionii delle curve che giacciono nel primo quadrante. Però sceglie gli assi di riferimento in modo che l’equazione sia il più semplice possibile | ||
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| + | •Trasforma problemi geometrici in intersezioni di curve quali rette, coniche e altre ancora, ma non risolve problemi di intersezione col calcolo algebrico, bensì mediante la costruzione geometrica delle curve | ||
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| + | •Classifica le curve in base al grado dell’equazione, cioè modifica la classificazione dei greci in piane, solide, lineari (piane sono retta e circonferenza, solide le sezioni coniche, lineari tutte le altre quali la spirale, la cicloide..). | ||
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| + | Il problema delle tangenti nella “Geometria” di Cartesio | ||
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| + | Il metodo di Cartesio nella “Geometria” per la ricerca delle tangenti contiene importanti determinazioni concettuali ed è organicamente collegato al pensiero complessivo del filosofo. | ||
| + | Il metodo di Cartesio contiene sia un’idea geometrica che una algebrica. Con riferimento alla figura l’idea geometrica di Cartesio può così esprimersi: la tangente in B può essere considerata come posizione limite della secante BD ( Cartesio è il primo a dare questa interpretazione del concetto di tangenza che poi diverrà abituale). | ||
| + | Ma i punti B e D possono essere considerati estremi di una corda di una circonferenza che ha il centro sulla retta F. Il problema può dunque ridursi a quello di determinare sulla retta EF. | ||
| + | Il centro di una circonferenza in modo che tale circonferenza abbia due intersezioni riunite in B con la curva. | ||
Versione corrente delle 10:03, 3 dic 2008
Pagina principale della classe IV E del Liceo Scientifico «G. Galilei» di Manfredonia.
Indice gruppi di lavoro
Gruppo Coordinatore: Lorussi Francesco, Taronna Andrea, Croce Felice
Gruppo "Storici": Rinaldi Michele, Ardò Francesco, Lauriola Raffaele, Tomaiuolo Emanuele, Mondo Pasquale
Gruppo "Matematici": Di Noia Delia, La Torre Anna, Armillotta Serena, Quarata Mariangela, Potenza Libera, Salcuni Emanuela
Gruppo "Filosofi": Vivolo Lorenzo, Nasuto Andrea, Guerra Valentina, Savastano Maria, Petrilli Serena, Libergoli Michela
Il problema di Pappo o delle tre rette Il luogo geometrico dei punti P che verificano la condizione PA • PB = PC è una conica Il problema di Pappo si enuncia così: date tre rette complanari e un punto P appartenente al piano, si considerino le distanze di P dalle tre rette; trovare il luogo dei punti tali che il prodotto di due delle distanze sia uguale (o proporzionale alla terza distanza).Il problema, classico della geometria alessandrina, era già stato trattato, ma risolto in modo incompleto: Cartesio lo risolve per la prima volta nella sua generalità. La risposta è: nel caso delle tre rette il punto P descrive una conica, può essere esteso a quattro rette e il luogo è ancora una conica, mentre per 5 o 6 rette è una curva di terzo grado. Il grado della curva sale all’aumentare del numero delle rette. Cartesio non conosce e nemmeno ricava la formula nota oggi nelle scuole d = abs(ax+by+c)/radq(a2+b2), comunque dai suoi calcoli emerge che ogni coppia di distanze punto-retta aggiunte comporta l'aumento di uno dell'esponente massimo dell'espressione che fornisce dell'equazione della curva.
Il problema delle quattro rette • Il luogo geometrico dei punti P che verificano la condizione CD • CF = CH • CB è una conica Il problema è generalizzato aumentando il numero delle rette e considerando, anziché la distanza, un segmento di retta con inclinazione qualsiasi. Qui le rette sono quattro ma nel su lavoro Cartesio indica la soluzione anche per altri valori, cinque, sei …
I suoi contributi •Introduce cambiamenti significativi nella notazione: Cartesio scrive formule matematiche leggibili senza sforzo alcuno anche oggi. Usa un simbolo per l’uguaglianza, diverso dall’ =, ma non più la scritta latina aequalis; con le prime lettere dell’alfabeto indica costanti, con le ultime incognite come è anche oggi. Usa il simbolo di potenza e di radice quadrata. Per lui, come per noi a2 è un numero e non un’area.
•Usa un sistema di coordinate che noi chiameremo obblique, quindi non sempre ortogonali, e solo con ascisse e ordinate positive, per cui traccia solo le porzionii delle curve che giacciono nel primo quadrante. Però sceglie gli assi di riferimento in modo che l’equazione sia il più semplice possibile
•Associa alle equazioni indeterminate curve nel piano ampliando così il concetto di curve ammissibili, sia accettando curve in precedenza rifiutate,sia introducendone alcune completamente nuove (ovale di Cartesio, folium, tridente di Newton)
•Trasforma problemi geometrici in intersezioni di curve quali rette, coniche e altre ancora, ma non risolve problemi di intersezione col calcolo algebrico, bensì mediante la costruzione geometrica delle curve
•Classifica le curve in base al grado dell’equazione, cioè modifica la classificazione dei greci in piane, solide, lineari (piane sono retta e circonferenza, solide le sezioni coniche, lineari tutte le altre quali la spirale, la cicloide..).
Il problema delle tangenti nella “Geometria” di Cartesio
Il metodo di Cartesio nella “Geometria” per la ricerca delle tangenti contiene importanti determinazioni concettuali ed è organicamente collegato al pensiero complessivo del filosofo. Il metodo di Cartesio contiene sia un’idea geometrica che una algebrica. Con riferimento alla figura l’idea geometrica di Cartesio può così esprimersi: la tangente in B può essere considerata come posizione limite della secante BD ( Cartesio è il primo a dare questa interpretazione del concetto di tangenza che poi diverrà abituale). Ma i punti B e D possono essere considerati estremi di una corda di una circonferenza che ha il centro sulla retta F. Il problema può dunque ridursi a quello di determinare sulla retta EF. Il centro di una circonferenza in modo che tale circonferenza abbia due intersezioni riunite in B con la curva.
