Progetto Cartesio (IV E G. Galilei)

Da Wikiscuola.

Versione delle 10:05, 3 dic 2008

Biografia

Cartesio, nome italianizzato dal nome lat. Cartesius del filosofo e matematico francese René Descartes. Nato a La Haye, Turenna, nel 1596 e morto a Stoccolma nel 1650. Nato da una famiglia di ricchi borghesi, venne educato dai gesuiti nel collegio di La Flèche (1604-1612). Rimasto a lungo incerto se intraprendere la carriera militare o darsi a una vita appartata di studio, nel 1617 si arruolò volontario nell'esercito di Maurizio di Nassau; nel 1619 passò al seguito dell'elettore di Baviera e nel 1621 seguì il conte di Bucquoy. Fu in Ungheria, in Germania, in Polonia, in Olanda, in Svizzera e in Italia, e di tanto in tanto tornò a Parigi o a Rennes, dove si trovava la sua famiglia. Nel 1628 prese parte all'assedio della Rochelle. Nel 1629 si stabilì in Olanda dove rimase vent'anni, abitando ad Amsterdam, Leida ed Egmond; questo lungo soggiorno olandese venne interrotto da un viaggio in Danimarca e da tre brevi ritorni in Francia. La regina Cristina di Svezia, piena di ammirazione per lui, lo invitò a Stoccolma nel settembre del 1649 perché le insegnasse la filosofia; qui Cartesio morì di polmonite l'11 febbraio 1650.

Cartesio e la Matematica

Il Metodo della matematica

Cartesio è alla ricerca di un metodo per stabilire la verita’ in tutti i campi, ma non lo soddisfano ne’ la logica aristotelica, ne’ la filosofia corrente, ne’ la teologia. Il metodo della matematica :

• consente di conseguire certezze e di dimostrarle

• vale per qualsiasi argomento é il piu potente ed é fonte di tutti gli altri

Le Regulae del metodo

• Regola dell’evidenza: non accettare mai nulla per vero se non ció che sia chiaro ed evidente;

• Regola dell’analisi: dividere ogni asserzione complessa in tante parti fino a giungere agli elementi ultimi che la costituiscono;

• Regola della sintesi: cominciare dalle cose piú semplici per risalire per gradi alle cose piú complesse, si da scoprire in quale maniera si colleghino tra loro;

• Regola dell’enumerazione: fare rassegne complete dei passi del proprio ragionamento e ripercorrerle con movimento continuo sino a essere sicuri di abbracciarle tutte in un unico sguardo senza omettere nulla.

La Matematica

• critica la geometria degli antichi perchè ogni dimostrazione richiede un nuovo e ingegnoso approccio;

• critica l’algebra del suo tempo perchè è troppo soggetta a regole e a formule e mette in imbarazzo, invece che migliorare, la mente;

• propone di prendere il meglio da entrambe;

Il fatto di proporre il metodo della matematica conduce Cartesio a criticare la matematica del passato e del suo tempo. Critica la geometria euclidea perché ogni dimostrazione richiede spesso nuovi e ingegnosi ragionamenti, non fornisce idee nuove, ma consente solo di dimostrare qualcosa di cui si sia già in possesso. Critica pure l’algebra così soggetta a regole e formule che ne risulta un’arte piena di confusione calcolata per mettere in imbarazzo invece che una scienza atta a migliorare la mente. L’idea di Cartesio è di usare l’algebra per la risoluzione di problemi di luoghi geometrici, quello che invece sarà importante per il futuro della matematica è l’associazione di curve a equazioni, che per lui è solo un mezzo.

La Geometria

La Geometrie Cartesiana è composta di tre libri. Nel primo libro si occupa di costruzzioni geometriche, dapprima osserva che le costruzioni geometriche rappresentano operazioni aritmetiche, e costruisce geometricamente le soluzione dell’equazione di secondo grado, riconoscendone le soluzioni positive, rifiuta le negative come false e anche le immaginarie. Nel secondo libro tratto il problema di Pappo nel caso generale. Si trovano in Cartesio calcoli basati su proprieta’ geometriche che portano a equazioni in due variabili. Nel terzo libro fa un compendio di tutta l’algebra allora conosciuta scrivendo e applicando le formule per la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, riducendo le equazioni di grado tramite la divisione nel caso si conosca una soluzione, inoltre enuncia, senza dimostrarla, la regola dei segni.

Costruzione geometrica delle radici dell’equazioni di 2°

z2 = az - bb

La risoluzione dell’equazione di secondo grado mediante costruzioni geometriche viene affrontata e risolta da Cartesio suddividendola in vari casi a seconda del segno dei coefficienti. L’equazione precedente corrisponde all’equazione

ax2 + bx + c = 0

nel caso in cui ci sono due soluzioni reali distinte.

La soluzione di

z2 - az + b2= 0

è

z = a/2 ± rad [(a/2)2- b2 ]

OQ, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo NQO, e uguale a rad(NQ2 - OQ2), MQ è una delle due soluzioni MR è l’altra.

Il problema di Pappo o delle tre rette

Il luogo geometrico dei punti P che verificano la condizione

PA • PB = PC

è una conica. Il problema di Pappo si enuncia così:

date tre rette complanari e un punto P appartenente al piano, si considerino le distanze di P dalle tre rette; trovare il luogo dei punti tali che il prodotto di due delle distanze sia uguale (o proporzionale alla terza distanza).Il problema, classico della geometria alessandrina, era già stato trattato, ma risolto in modo incompleto: Cartesio lo risolve per la prima volta nella sua generalità.

La risposta è:

nel caso delle tre rette il punto P descrive una conica, può essere esteso a quattro rette e il luogo è ancora una conica, mentre per 5 o 6 rette è una curva di terzo grado. Il grado della curva sale all’aumentare del numero delle rette. Cartesio non conosce e nemmeno ricava la formula nota oggi nelle scuole d = abs(ax+by+c)/radq(a2+b2), comunque dai suoi calcoli emerge che ogni coppia di distanze punto-retta aggiunte comporta l'aumento di uno dell'esponente massimo dell'espressione che fornisce dell'equazione della curva.

Molti elementi della Matematica di Cartesio sono ancora oggi utilizzati:

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