Progetto Cartesio (IV E G. Galilei)

Da Wikiscuola.

Versione delle 10:15, 3 dic 2008

Biografia

René Descartes, più conosciuto con il nome di Cartesio, nacque a La Haye in Francia nel 1596. Dopo la laurea in legge, ottenuta nel1616, si arruolò nell’esercito Olandese di Maurizio di Nassau. Nel 1619 durante una sua permanenza in Germania, formulo un nuovo sistema scientifico e matematico che chiamò “ scientia penitus nova” ossia un’estensione del metodo matematico agli altri campi del sapere. Nel 1622 rientro in patria e trascorse diversi anni della sua vita tra Parigi e alcune città Italiane. Nel 1628 pubblicò le Regulae ad directionem ingenii e si trasferì in Olanda. Nel 1629 inizio a comporre l’opera ” il mondo “, opera che non fu mai pubblicata a causa delle ristrettezze ideologiche imposte dalla chiesa, memore dell’esperienza copernicana e galileiana. Infatti, la chiesa inserì nell’indice dei libri proibiti le sue opere. Nel 1637 pubblicò il discorso sul metodo e i saggi su Ottica, Geometria e Meteore. Nel 1641 diede alle stampe la prima edizione “delle meditazioni metafisiche” e le “Obiezioni e risposte” e l’anno seguente ne pubblica una seconda edizione. Nel 1644 scrisse i “Principia philosophiae” e in seguito lo stato di Francia gli riconobbe una pensione. Nel 1649 la regina di Svezia Cristina lo invitò a Stoccolma per approfondire i suoi studi. Provato dal rigido clima del luogo, si ammalò di polmonite e mori nel 1650. Le sue spoglie vennero in seguito trasportate in Francia e sepolte nella chiesa di S. te Genevieve-du-Mont, dove riposano tuttora.

Cartesio e la Matematica

Il Metodo della matematica

Cartesio è alla ricerca di un metodo per stabilire la verita’ in tutti i campi, ma non lo soddisfano ne’ la logica aristotelica, ne’ la filosofia corrente, ne’ la teologia. Il metodo della matematica :

• consente di conseguire certezze e di dimostrarle

• vale per qualsiasi argomento é il piu potente ed é fonte di tutti gli altri

Le Regulae del metodo

• Regola dell’evidenza: non accettare mai nulla per vero se non ció che sia chiaro ed evidente;

• Regola dell’analisi: dividere ogni asserzione complessa in tante parti fino a giungere agli elementi ultimi che la costituiscono;

• Regola della sintesi: cominciare dalle cose piú semplici per risalire per gradi alle cose piú complesse, si da scoprire in quale maniera si colleghino tra loro;

• Regola dell’enumerazione: fare rassegne complete dei passi del proprio ragionamento e ripercorrerle con movimento continuo sino a essere sicuri di abbracciarle tutte in un unico sguardo senza omettere nulla.

La Matematica

• critica la geometria degli antichi perchè ogni dimostrazione richiede un nuovo e ingegnoso approccio;

• critica l’algebra del suo tempo perchè è troppo soggetta a regole e a formule e mette in imbarazzo, invece che migliorare, la mente;

• propone di prendere il meglio da entrambe;

Il fatto di proporre il metodo della matematica conduce Cartesio a criticare la matematica del passato e del suo tempo. Critica la geometria euclidea perché ogni dimostrazione richiede spesso nuovi e ingegnosi ragionamenti, non fornisce idee nuove, ma consente solo di dimostrare qualcosa di cui si sia già in possesso. Critica pure l’algebra così soggetta a regole e formule che ne risulta un’arte piena di confusione calcolata per mettere in imbarazzo invece che una scienza atta a migliorare la mente. L’idea di Cartesio è di usare l’algebra per la risoluzione di problemi di luoghi geometrici, quello che invece sarà importante per il futuro della matematica è l’associazione di curve a equazioni, che per lui è solo un mezzo.

La Geometria

La Geometrie Cartesiana è composta di tre libri. Nel primo libro si occupa di costruzzioni geometriche, dapprima osserva che le costruzioni geometriche rappresentano operazioni aritmetiche, e costruisce geometricamente le soluzione dell’equazione di secondo grado, riconoscendone le soluzioni positive, rifiuta le negative come false e anche le immaginarie. Nel secondo libro tratto il problema di Pappo nel caso generale. Si trovano in Cartesio calcoli basati su proprieta’ geometriche che portano a equazioni in due variabili. Nel terzo libro fa un compendio di tutta l’algebra allora conosciuta scrivendo e applicando le formule per la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, riducendo le equazioni di grado tramite la divisione nel caso si conosca una soluzione, inoltre enuncia, senza dimostrarla, la regola dei segni.

Costruzione geometrica delle radici dell’equazioni di 2°

z2 = az - bb

La risoluzione dell’equazione di secondo grado mediante costruzioni geometriche viene affrontata e risolta da Cartesio suddividendola in vari casi a seconda del segno dei coefficienti. L’equazione precedente corrisponde all’equazione

ax2 + bx + c = 0

nel caso in cui ci sono due soluzioni reali distinte.

La soluzione di

z2 - az + b2= 0

è

z = a/2 ± rad [(a/2)2- b2 ]

OQ, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo NQO, e uguale a rad(NQ2 - OQ2), MQ è una delle due soluzioni MR è l’altra.

Il problema di Pappo o delle tre rette

Il luogo geometrico dei punti P che verificano la condizione

PA • PB = PC

è una conica. Il problema di Pappo si enuncia così:

date tre rette complanari e un punto P appartenente al piano, si considerino le distanze di P dalle tre rette; trovare il luogo dei punti tali che il prodotto di due delle distanze sia uguale (o proporzionale alla terza distanza).Il problema, classico della geometria alessandrina, era già stato trattato, ma risolto in modo incompleto: Cartesio lo risolve per la prima volta nella sua generalità.

La risposta è:

nel caso delle tre rette il punto P descrive una conica, può essere esteso a quattro rette e il luogo è ancora una conica, mentre per 5 o 6 rette è una curva di terzo grado. Il grado della curva sale all’aumentare del numero delle rette. Cartesio non conosce e nemmeno ricava la formula nota oggi nelle scuole d = abs(ax+by+c)/radq(a2+b2), comunque dai suoi calcoli emerge che ogni coppia di distanze punto-retta aggiunte comporta l'aumento di uno dell'esponente massimo dell'espressione che fornisce dell'equazione della curva.

Il problema delle quattro rette

• Il luogo geometrico dei punti P che verificano la condizione CD • CF = CH • CB è una conica Il problema è generalizzato aumentando il numero delle rette e considerando, anziché la distanza, un segmento di retta con inclinazione qualsiasi. Qui le rette sono quattro ma nel su lavoro Cartesio indica la soluzione anche per altri valori, cinque, sei …

I suoi contributi:

• Introduce cambiamenti significativi nella notazione: Cartesio scrive formule matematiche leggibili senza sforzo alcuno anche oggi. Usa un simbolo per l’uguaglianza, diverso dall’ =, ma non più la scritta latina aequalis; con le prime lettere dell’alfabeto indica costanti, con le ultime incognite come è anche oggi. Usa il simbolo di potenza e di radice quadrata. Per lui, come per noi a2 è un numero e non un’area.

• Usa un sistema di coordinate che noi chiameremo obblique, quindi non sempre ortogonali, e solo con ascisse e ordinate positive, per cui traccia solo le porzionii delle curve che giacciono nel primo quadrante. Però sceglie gli assi di riferimento in modo che l’equazione sia il più semplice possibile

• Associa alle equazioni indeterminate curve nel piano ampliando così il concetto di curve ammissibili, sia accettando curve in precedenza rifiutate,sia introducendone alcune completamente nuove (ovale di Cartesio, folium, tridente di Newton)

• Trasforma problemi geometrici in intersezioni di curve quali rette, coniche e altre ancora, ma non risolve problemi di intersezione col calcolo algebrico, bensì mediante la costruzione geometrica delle curve

• Classifica le curve in base al grado dell’equazione, cioè modifica la classificazione dei greci in piane, solide, lineari (piane sono retta e circonferenza, solide le sezioni coniche, lineari tutte le altre quali la spirale, la cicloide..).

Il problema delle tangenti nella “Geometria” di Cartesio

Il metodo di Cartesio nella “Geometria” per la ricerca delle tangenti contiene importanti determinazioni concettuali ed è organicamente collegato al pensiero complessivo del filosofo. Il metodo di Cartesio contiene sia un’idea geometrica che una algebrica. Con riferimento alla figura l’idea geometrica di Cartesio può così esprimersi: la tangente in B può essere considerata come posizione limite della secante BD ( Cartesio è il primo a dare questa interpretazione del concetto di tangenza che poi diverrà abituale). Ma i punti B e D possono essere considerati estremi di una corda di una circonferenza che ha il centro sulla retta F. Il problema può dunque ridursi a quello di determinare sulla retta EF. Il centro di una circonferenza in modo che tale circonferenza abbia due intersezioni riunite in B con la curva.

Molti elementi della Matematica di Cartesio sono ancora oggi utilizzati:

• Le equazioni lineari

• Alcuni oggetti primitivi della geometria solida e piana: il punto, la retta, il piano, angoli ,solidi, poligoni e poliedri.

• Lo studio dell'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale

• Un abaco, un semplice mezzo di calcolo utilizzato nel commercio, per capire i rapporti fra i numeri,peri misurare la terra e per predire eventi astronomici.

La Matematica di Cartesio si occupa anche di:

• Algebra astratta , Teoria dei numeri , Geometria algebrica ,Teoria dei gruppi , Monoidi , Analisi , Topologia , Algebra lineare ,Teoria dei grafi , Algebra universale ,Teoria delle categorie.

• Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria algebrica -- Geometria differenziale -- Topologia differenziale -- Topologia algebrica -- Algebra lineare -- Geometria frattale -- Teoria della misura -- Analisi funzionale

• Calcolo combinatorio , Combinatorica , Teoria della , Crittografia , Teoria dei grafi ,Teoria dei giochi ,Teoria dei codici